Αλγεβρικές Παραδοξότητες

Αλγεβρικές Παραδοξότητες

0,99999999… = 1

   Ένα από τα πράγματα, το οποίο στο πρώτο άκουσμα, κάνει σε πολλούς μεγάλη εντύπωση είναι η ισότητα 0,99999999….. = 1. Στο αριστερό μέλος για μια ακόμη φορά το άπειρο πλήθος, το ατελές, το ανεκπλήρωτο κι απ' την άλλη, στο δεξί μέλος το ολόκληρο, το πεπερασμένο. Υπάρχουν πολλοί τρόποι απόδειξης για το συγκεκριμένο με τον πιο διαδεδομένο να είναι ο εξής:

Παίρνουμε τον 0,99999999… και τον ονομάζουμε x

x = 0,99999999…..

Τον πολ/ζουμε με 10 και μεταφέροντας την υποδιαστολή μια θέση προς τα δεξιά

10x = 10 ∙ 0,99999999… = 9,999999…..  

Όμως  9 + 0,99999999… =  9,99999999…

9,999999….= 9 + 0,99999999…

10x = 9 + x

Λύνουμε ως προς x

10x – x = 9

9x = 9

x = 1

Και φτάνουμε στο συμπέρασμά μας

Άρα 0,99999999… = x = 1

Κάτι ακόμα πιο περίεργο

   Σε αυτό το σημείο και εκεί που ο ακροατής – αναγνώστης προσπαθεί να χωνέψει ότι αυτός ο αριθμός με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία μπορεί να ισούται με κάτι τόσο κομψό όσο το 1, απρόσμενα έρχεται και κάτι ακόμα πιο περίεργο. Ας σκεφτούμε λίγο συμμετρικά με πριν και αντί να βάλουμε άπειρα δεκαδικά ψηφία ίσα με 9, να κατασκευάσουμε έναν αριθμό ο οποίος θα έχει άπειρα ψηφία (όχι δεκαδικά) ίσα με 9. Δηλαδή ας σκεφτούμε τον αριθμό:

….9          9          9          9          9          9          9          9

       …....δεκ. εκατομ.   εκατομ.    εκ. χιλ.   δεκ. χιλ.   χιλιάδες  εκατοντ.    δεκάδες     μονάδες

Ας ακολουθήσουμε τώρα τα ίδια βήματα με πριν:

   Δηλαδή αποδείξαμε, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο με πριν, ότι αυτός ο τεράστιος θετικός αριθμός ισούται με −1. Κουφό! Κουφότατο!! Θα αναφωνούσε ο οποιοσδήποτε. Κι όμως, ενώ επιλέγουμε (ή έστω τείνουμε να) να πειστούμε για το πρώτο αποτέλεσμα (ότι  0,999999…. = 1) και την απόδειξή του, θεωρούμε ότι κάτι σίγουρα πηγαίνει στραβά με το δεύτερο αποτέλεσμα και κατ' επέκταση με την απόδειξή του (που όμως χρησιμοποιεί ακριβώς τα ίδια βήματα με την πρώτη απόδειξη).

Συνέχεια περίεργων αποτελεσμάτων

   Αν στη συνέχεια κατασκευάσουμε τον αριθμό …..99999,99999…. και τον ονομάζουμε ω.

Δηλαδή έχουμε:

ω = …..99999,99999…..

10ω = …..999999,9999…..  (η υποδιαστολή μία θέση προς τα δεξιά)

10ω = ω

9ω = 0

ω = 0

Άρα …..99999,99999….. = ω = 0

Άλλο πάλι κι αυτό! Πώς γίνεται αυτό να κάνει 0;!  Όμως και πάλι αυτό είναι συνεπές με τα προηγούμενα, αφού:

ω = …..99999,99999…..

ω = …..99999 + 0,99999…..

ω = y + x

ω = −1 + 1

0 =  −1 + 1

Απάντηση (?)

   Τι συμβαίνει τελικά; Είναι το 0,99999….. = 1; Κι αν είναι, τι συμβαίνει με όλα τα υπόλοιπα που προκύπτουν ως συνέπειες; Η απάντηση έχει να κάνει με το τι πιστεύουμε. Αν επιλέξουμε να πιστέψουμε ότι το 0,99999… θα πρέπει να έχει μια λογική απάντηση, ότι θα πρέπει να ισούται με κάτι (κάναμε αυτήν την παραδοχή όταν είπαμε ότι 0,99999…. = x) τότε βάσει των αξιωμάτων και του γνωστού μας αριθμητικού συστήματος το 0,99999…. θα πρέπει να ισούται με 1! Αν όμως συμβαίνει αυτό, τότε θα πρέπει να δεχθούμε τις συνέπειες, δηλαδή ότι και οι αριθμοί …..999999 και …..99999,99999….. θα πρέπει να ισούνται με "κάτι" κι αυτά τα "κάτι" θα πρέπει να είναι αναγκαστικά ίσα με −1 και 0 αντίστοιχα.

   Επομένως επαφίεται καθαρά σε 'μας αν επιλέγουμε να πιστεύουμε κάτι τέτοιο ή όχι καθώς και αν δεχόμαστε την Άλγεβρα όπως την γνωρίζουμε. Άλλωστε θυμίζουμε ως ανάλογο το γνωστό 5^ο αξίωμα του Ευκλείδη ("Στο επίπεδο, από ένα σημείο εκτός ευθείας, διέρχεται μόνο μία παράλληλη προς την ευθεία") καθώς και το πώς η άρνησή και αντικατάστασή του από άλλα, αρχικά από τον Lobachevsky και στη συνέχεια από τον Riemann, δημιούργησαν την υπερβολική και την ελλειπτική γεωμετρία αντίστοιχα!

Επιμέλεια άρθρου: Δημήτριος Κουβελογιάννης - Μαθηματικός

Πηγή: ΜΑΑ (Mathematics Association of America)